试题

如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点0在斜边AB上，半径为2的⊙O过点B，且切AC边于点D，交BC边于点E，求：
（1）弧DE的长； （结果保留π）
（2）由线段CD，CE及弧DE围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

解：（1）连OE，OD，
∵∠C=90°，∠A=30°，半径为2，
∴OD=2，OA=4，AB=6，
∴BC=3，AC=3

3

，AD=2

3

，CD=

3

，
∠1=∠2=∠3=∠B=60°，
∴BE=OB=2，CE=1，
∴DE弧长为：

60π×2

180

=

2

3

π；

（2）∵∠AOD=60°，∠DOE=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△BOE是等边三角形，其高为：

3

2

×2=

3

，
由线段CD，CE及弧DE围成的阴影部分的面积为：
S_△ABC-S_△AOD-S_扇形EOD-S_△BOE，
=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

，
=

3

2

3

-

2

3

π．
解：（1）连OE，OD，
∵∠C=90°，∠A=30°，半径为2，
∴OD=2，OA=4，AB=6，
∴BC=3，AC=3

3

，AD=2

3

，CD=

3

，
∠1=∠2=∠3=∠B=60°，
∴BE=OB=2，CE=1，
∴DE弧长为：

60π×2

180

=

2

3

π；

（2）∵∠AOD=60°，∠DOE=60°，
∴∠BOE=60°，
∴△BOE是等边三角形，其高为：

3

2

×2=

3

，
由线段CD，CE及弧DE围成的阴影部分的面积为：
S_△ABC-S_△AOD-S_扇形EOD-S_△BOE，
=

1

2

×3×3

3

-

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

-

1

2

×2×

3

，
=

3

2

3

-

2

3

π．