试题

题目：
青果学院已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（　　）



答案
A
青果学院解：如图，
AC=4，S1+S2=10，设BC=a，
∴S1+S2+S3+S4=
1
2
π×22+
1
2
π×
1
4
a2=2π+
π
8
a2，
∴S3+S4=2π+
π
8
a2-10①，
又∵AB2=42+a2=16+a2，
∴S3+S4=
1
2
π×
16+a 2
4
-
1
2
×4a=
π
8
a2+2π-2a②，
①-②得，2π+
π
8
a2-10=
π
8
a2+2π-2a，解得a=5，
∴S3+S4=2π+
π
8
a2-10=2π+
π
8
×25-10≈6.1，
即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．
故选A．
考点梳理
扇形面积的计算；三角形的面积；勾股定理．
如图，AC=4，S1+S2=10，设BC=a，利用圆的面积公式得到S1+S2+S3+S4=
1
2
π×22+
1
2
π×
1
4
a2=2π+
π
8
a2，于是有S3+S4=2π+
π
8
a2-10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S3+S4，即S3+S4=
1
2
π×
16+a 2
4
-
1
2
×4a=
π
8
a2+2π-2a②，有①-②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和．
本题考查了圆的面积公式：S=πR2．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决．
计算题．
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