试题
题目：
（2011·南漳县模拟）已知a、b、c是△ABC的三边，当m＞0时，关于x的方程c（x
2
+m）+b（x
2
-m）-2a
m
x=0有两个相等的实数根，则△ABC的形状是
直角
直角
三角形．
答案
直角
解：由原方程，得
（c+b）x
2
-2a
m
x+（c-b）m=0；
∵关于x的方程c（x
2
+m）+b（x
2
-m）-2a
m
x=0有两个相等的实数根，
∴△=4a
2
m-4（c+b）（c-b）m=0，即m（a
2
-c
2
+b
2
）=0，
又∵m＞0，
∴a
2
-c
2
+b
2
=0，即a
2
+b
2
=c
2
；
而a、b、c是△ABC的三边，
∴△ABC的形状是直角三角形．
故答案是：直角．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；勾股定理的逆定理．
先把原方程化为关于x的一元二次方程的一般形式，然后利用根的判别式△=b
2
-4ac=0求得a
2
+b
2
=c
2
；最后由直角三角形的勾股定理的逆定理填空．
本题考查了根的判别式、勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根．
计算题；压轴题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．