试题
题目：
正整数系数二次方程ax
2
+bx+c=0有有理数根，则a，b，c中（ ）
A．至少有一个偶数
B．至少有一个质数
C．至少有一个奇数
D．至少有一个合数
答案
A
解：A、因判别式△=b
2
-4ac=m
2
，m是整数．若a，b，c全为奇数，则ac和m也为奇数．令b=2n+1，
ac=2k+1，则△=8[
n(n+1)
2
-k
]-3，这与奇数m的平方是8的倍数加1矛盾．则a，b，c全为奇数不成立，
所以A对．
B、方程4x
2
+8x+4=0有有理数根，则B错；
C、方程2x
2
+4x+2=0有有理数根，则C错；
D、方程3x
2
+5x+2=0有有理数根，则D错；
故答案为A．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
设△=b
2
-4ac=m
2
，m是整数．先假设a，b，c全为奇数，令b=2n+1，ac=2k+1，然后变形△，得到8的倍数减3，这与奇数m的平方是8的倍数加1矛盾，得到A对；再通过特例否定B，C，D．
本题考查了一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b
2
-4ac．当△为完全平方数时，方程有有理数根．同时考查了奇数，偶数，质数和合数的定义．
推理填空题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．