试题
题目：
（2011·西城区一模）已知关于x的一元二次方程
a
x
2
+bx+
1
2
=0(a≠0)
有两个相等的实数根，求
a
b
2
(a-1)
2
+(b+1)(b-1)
的值．
答案
解：由题意，
△=
b
2
-4a×
1
2
=
b
2
-2a=0
．（1分）
∴b
2
=2a．（2分）
∴原式=
a
b
2
a
2
-2a+1+
b
2
-1
（3分）
=
a
b
2
a
2
+
b
2
-2a
=
a·2a
a
2
+2a-2a
=
2
a
2
a
2
．（4分）
∵a≠0，
∴原式=
2
a
2
a
2
=2
．（5分）
解：由题意，
△=
b
2
-4a×
1
2
=
b
2
-2a=0
．（1分）
∴b
2
=2a．（2分）
∴原式=
a
b
2
a
2
-2a+1+
b
2
-1
（3分）
=
a
b
2
a
2
+
b
2
-2a
=
a·2a
a
2
+2a-2a
=
2
a
2
a
2
．（4分）
∵a≠0，
∴原式=
2
a
2
a
2
=2
．（5分）
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；分式的化简求值．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b
2
=2a的值；然后将其代入化简后的
a
b
2
(a-1)
2
+(b+1)(b-1)
，并求值即可．
本题考查了根的判别式与分式的化简求值．本题利用一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=0，方程有两个相等的实数根．
压轴题；判别式法．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．