试题
题目：
（2012·密云县二模）已知关于x的方程x
2
-2ax-a+2b=0，其中a、b为实数．
（1）若此方程有一个根为2a（a＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；
（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围．
答案
解：（1）∵方程x
2
-2ax-a+2b=0有一个根为2a，
∴4a
2
-4a
2
-a+2b=0，
整理，得b=
a
2
，
∵a＜0，
∴a＜
a
2
，
即a＜b；
（2）△=4a
2
-4（-a+2b）=4a
2
+4a-8b，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，都有4a
2
+4a-8b≥0，即a
2
+a-2b≥0，
∴对于任何实数a，都有b≤
a
2
+a
2
，
∵
a
2
+a
2
=
1
2
（a+
1
2
）
2
-
1
8
，
当a=-
1
2
时，
a
2
+a
2
有最小值-
1
8
，
∴b的取值范围是b≤-
1
8
．
解：（1）∵方程x
2
-2ax-a+2b=0有一个根为2a，
∴4a
2
-4a
2
-a+2b=0，
整理，得b=
a
2
，
∵a＜0，
∴a＜
a
2
，
即a＜b；
（2）△=4a
2
-4（-a+2b）=4a
2
+4a-8b，
∵对于任何实数a，此方程都有实数根，
∴对于任何实数a，都有4a
2
+4a-8b≥0，即a
2
+a-2b≥0，
∴对于任何实数a，都有b≤
a
2
+a
2
，
∵
a
2
+a
2
=
1
2
（a+
1
2
）
2
-
1
8
，
当a=-
1
2
时，
a
2
+a
2
有最小值-
1
8
，
∴b的取值范围是b≤-
1
8
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式；一元二次方程的解．
（1）把x=2a代入求值即可；
（2）只要让根的判别式△=b
2
-4ac≥0，进行判断即可．
本题综合考查了根的判别式和与一元二次方程系数的关系及二次函数的最值等知识点．
转化思想．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．