试题
题目：
对关于x的方程ax
2
+bx+c=0（a≠0）．下列结论中：
①方程的解为
x=
-b±
b
2
-4ac
2a
；②若a+c=0，方程ax
2
+bx+c=0有两个不等的实数根；
③若方程ax
2
+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程x
2
+bx+ac=0也一定有两个不等的实数根；④若二次三项式ax
2
+bx+c是完全平方式，则方程ax
2
+bx+c=0必有两相等实根；其中正确的结论是（ ）
A．①③④
B．①②④
C．②③④
D．①②③
答案
C
解：①若△=b
2
-4ac＜0，则方程没有实数解，故本小题错误；
②∵a+c=0，
∴c=-a，
∴△=b
2
-4ac=b
2
-4a（-a）=b
2
+4a
2
，
∵b
2
≥0，4a
2
＞0，
∴△＞0，
∴方程ax
2
+bx+c=0有两个不等的实数根，故本小题正确；
③∵方程ax
2
+bx+c=0有两个不等的实数根，
∴△=b
2
-4ac＞0，
方程x
2
+bx+ac=0的△=b
2
-4ac＞0，
∴方程x
2
+bx+ac=0也一定有两个不等的实数根，故本小题正确；
④∵二次三项式ax
2
+bx+c是完全平方式，
∴b=2
ac
，
∴△=b
2
-4ac=b
2
-4×
1
4
b
2
=0，
∴方程ax
2
+bx+c=0必有两相等实根，故本小题正确，
综上所述，正确的结论是②③④．
故选C．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
根的判别式．
①根据根的判别式的情况进行判断；
②先整理出c=-a，然后利用根的判别式即可进行判断；
③根据两个方程的根的判别式进行判断；
④根据完全平方公式的结构，b=2
ac
，再求出根的判别式=0，即可进行判断．
本题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根．
求出各小题的△的正负情况是解题的关键．
计算题．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．