试题
题目：
已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x
2
）+2bx-c（1-x
2
）=0的两根相等，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
答案
C
解：原方程整理得（a+c）x
2
+2bx+a-c=0，
因为两根相等，
所以△=b
2
-4ac=（2b）
2
-4×（a+c）×（a-c）=4b
2
+4c
2
-4a
2
=0，
即b
2
+c
2
=a
2
，
所以△ABC是直角三角形．
故选C
考点梳理
考点
分析
点评
根的判别式；勾股定理的逆定理．
方程a（1+x
2
）+2bx-c（1-x
2
）=0的两根相等，即△=0，结合直角三角形的判定和性质确定三角形的形状．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0·方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0·方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0·方程没有实数根．
△ABC的三边长满足b
2
+c
2
=a
2
，由勾股定理的逆定理可知，此三角形是直角三角形．
找相似题
（2013·珠海）已知一元二次方程：①x
2
+2x+3=0，②x
2
-2x-3=0．下列说法正确的是（ ）
f（x）=
x
x+1
的最大值为
1
2
1
2
．
已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a=3，c=5，且关于x的一元二次方程x
2
-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
已知关于x的一元二次方程
(
1
2
k-1)
x
2
-(k+1)x+
1
2
k+1=0
有实数根，求实数k的取值范围．
已知y=
ax-1
3
a
x
2
+4ax+3
的定义域为R，求实数a的取值范围．