数学

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（2011·高淳县一模）如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．
（1）试说明：AE为⊙O的切线；
（2）延长AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

（2011·赣州模拟）如图，半径OC⊥弦AB于E，过B作⊙O的切线交OC的延长线于点D，已知BD=8，OD=10，点P是优

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上的一个动点．
（1）求⊙O的半径；
（2）当点P运动至

时，弦AC与弦BP有何关系？并证明你的结论；
（3）当点P运动至BO的延长线上时，求出此时AP的长．

（2011·甘井子区模拟）如图1，在△ABC中，AB=k·AC，∠BAC+∠DAE=180°，AD=k·AE．
探索△AEB与△ACD面积之间的数量关系，并写出你的解答过程．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）k=1，∠BAC=90°（如图2）；
（2）k=1，∠BAC=120°，且B、A、D三点共线（如图3）．

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（2011·阜阳模拟）如图，在·ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

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（1）当t为何值时，PE∥CD？并求出此时PE的长；
（2）试判断△PEF的形状，并请说明理由．
（3）当0＜t＜2.5时，
（ⅰ）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积

（填序号）
①变大 ②变小 ③先变大，后变小 ④不变
（ⅱ）设△PEQ的面积为y（cm²），求出y（cm²）与t（s）之间的函数关系式及y的取值范围．

（2011·丰润区一模）如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E．
阅读理解：
在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为S，△ADF的面积S₁，△PDC的面积S₂．

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解决问题：
（1）在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S=

；
（2）在图②中，若AB=a，DC=b，DE=h，则

，并写出理由；
拓展应用：
如图③，·DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用（2 ）中的结论求△PAB的面积．

（2011·番禺区一模）如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上（不与A、D重合），MN为折痕，折叠后B′C′与DN交于P．

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（1）P判断△MAB′与△NC′P是否相似？并说明理由；
（2）当B落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC′B′面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积．

（2011·东台市二模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求证：D为BC的中点；
（2）过点O作OF⊥AC，于F，若AF=

，BC=2，求⊙O的直径．

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（2011·东城区二模）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？

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（2011·道外区二模）在等腰△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为AB的中点，以AC为斜边作直角△APC，连接PD．

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（1）当点P在△ABC的内部时（如图1），求证

PD+PC=AP；
（2）当点P在△ABC的外部时（如图2），线段PD、PC、AP之间的数量关系是

．
（3）在（2）的条件下，PD与AC的交点为E，连接CD（如图3），PC：EC=7：5，PD=

（AP＜PC），求线段PB的长．

（2011·道里区模拟）在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN．直线BD与MN相交于E．
（1）如图1，当点M在BC上时，求证：BD-2DE=

BM；
（2）如图2，当点M在BC延长线上时，BD、DE、BM之间满足的关系式是

；
（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，连接CG．若DE=

，且AF：FD=1：2时，求线段DG的长．

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