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已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点．
（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求
的值；AP PC
（2）如图2，当OA=OB，
=AD AO
时，求△BPC与△ACO的面积之比．1 4 
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综合实践
问题背景
某课外兴趣小组在一次折纸活动中，折叠一张带有条格的长方形纸片ABCD（如图1），将点B分别与点A，A1，A2，…，D重合，然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点，用平滑的曲线顺次连接各交点，得到一条曲线．
探索
如图2，在平面直角坐标系xOy中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=m，AD=n（m≤n），将纸片折叠，MN是折痕，使点B落在边AD上的E处，过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，交直线MN于点P，连接OP
（1）求证：四边形OMEP是菱形；
（2）设点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（用含m、n的式子表示）
运用
（3）将长方形纸片ABCD如图3所示放置，AB=8，AD=12，将纸片折叠，当点B与点D重合时，折痕与DC的延长线交于点F．试问在这条折叠曲线上是否存在K，使得△KCF的面积是△KOC面积的
，若存在，写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．5 3 
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如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=4，CF=2，求DF的长度．
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P为半径为R的⊙O内一点，Q为射线OP上一点，如果满足OP·OQ=R2，则称P、Q两点为⊙O互为反演点．已知：E、B两点及A、F两点分别为⊙O的互为反演点．
（1）求证：△OEF∽△OAB；
（2）△OAB中，∠O、∠A、∠B所对的边分别为c、a、b关于x的方程（a-b）x2-2cx+a+b=0有两个相等的实数根，延长FE与⊙O相交于D点，求证：BD是⊙O的切线．
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如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于点M、N，则图中阴影部分的面积与梯形ABCD的面积的比是1：41：4． -
在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为1：21：2，△ADE与△ABC的面积之比为1：41：4．
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如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．请写出一条与BC有关的正确结论：BC=BD或OF∥BC或△BCE∽△OAF或BC2=BE·AB或BC2=CE2+BE2或△ABC是直角三角形（答案不唯一）．BC=BD或OF∥BC或△BCE∽△OAF或BC2=BE·AB或BC2=CE2+BE2或△ABC是直角三角形（答案不唯一）．． -
如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切，切点为E，AD⊥CD于点D，交⊙O于点F，若⊙O的半径为2，设BC=x，DF=y，则y关于x的函数解析式为y=2x x+2 ．2x x+2 -
四边形ABCD是⊙O的内接正方形，P是
的中点，PD与AB交于点E，则
AB
的值为PD DE
-12 2 ．
-12 2 -
以直角坐标系原点为中心，将点A（-1，2）顺时针旋转90°后的坐标是（2，1）（2，1）．