试题

题目：
过半径为r的圆O的直径AB上一点P，作PC⊥AB交圆周于C．若要以PA、PB、PC为边作三角形，求OP长的范围．
答案
青果学院解：不失一般性，令P在OB上，
且x=OP＞0，
则有AP＞BP，AP＞PC．
若以AP、BP、PC为边作三角形，
结合上面条件，
只须BP+PC＞AP，即PC＞r+x-r+x=2x，
又PC＞0，x≥0，
∴PC2＞4x2，（1）
又PC2=AP·BP=（r+x）（r-x）=r2-x2．
代入（1）得r2-x2＞4x2，
解得：-
5
5
r＜x＜
5
5
r．
∴OP的取值范围是0≤x＜
5
5
r．
青果学院解：不失一般性，令P在OB上，
且x=OP＞0，
则有AP＞BP，AP＞PC．
若以AP、BP、PC为边作三角形，
结合上面条件，
只须BP+PC＞AP，即PC＞r+x-r+x=2x，
又PC＞0，x≥0，
∴PC2＞4x2，（1）
又PC2=AP·BP=（r+x）（r-x）=r2-x2．
代入（1）得r2-x2＞4x2，
解得：-
5
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r＜x＜
5
5
r．
∴OP的取值范围是0≤x＜
5
5
r．
考点梳理
垂径定理；三角形三边关系；射影定理．
不失一般性，令P在OB上，且x=OP＞0，若以AP、BP、PC为边作三角形，只须BP+PC＞AP，即PC＞r+x-r+x=2x，再根据PC2＞4X2，解得OP长的范围．
本题主要考查垂径定理和三角形三边的关系的知识点，解答本题的关键是数形结合，此题有一定的难度．
计算题．
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