试题

已知抛物线y=-

1

2

x2+mx+n与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0），点A在点B的左边，抛物线与y轴交于点C，若A，B两点位于y轴异侧，且tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，求抛物线的解析式．

解：∵图象与x轴有交点，∴令y=0，
∵图象与y轴有交点，∴令x=0，
∴y=n 即C点坐标为（0，n），
∵tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，
∴

OC

AO

= 

OB

OC

= 

1

3

，
∵∠ACB=90°，CO⊥x轴，
∴OC²=AO·OB，
∵A、B两点在y轴异侧，
∴OA=-x₁，OB=x₂，
即n²=-（-2n），∵n≠0，∴n=2，∴OC=2，
∵

OC

OA

=

1

3

，即

2

AO

=

1

3

，
∴

2

-x1

=

1

3

即：x₁=-6
∴A点坐标为（-6，0），
同理解得B点坐标为（

2

3

，0），
设y=a（x+6）（x-

2

3

）
且它过点C（0，2），
代入后解得：a=-

1

2

，
所以：y=-

1

2

x2-

8

3

x+2．
答：抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2-

8

3

x+2．
解：∵图象与x轴有交点，∴令y=0，
∵图象与y轴有交点，∴令x=0，
∴y=n 即C点坐标为（0，n），
∵tan∠CAO=tan∠BCO=

1

3

，
∴

OC

AO

= 

OB

OC

= 

1

3

，
∵∠ACB=90°，CO⊥x轴，
∴OC²=AO·OB，
∵A、B两点在y轴异侧，
∴OA=-x₁，OB=x₂，
即n²=-（-2n），∵n≠0，∴n=2，∴OC=2，
∵

OC

OA

=

1

3

，即

2

AO

=

1

3

，
∴

2

-x1

=

1

3

即：x₁=-6
∴A点坐标为（-6，0），
同理解得B点坐标为（

2

3

，0），
设y=a（x+6）（x-

2

3

）
且它过点C（0，2），
代入后解得：a=-

1

2

，
所以：y=-

1

2

x2-

8

3

x+2．
答：抛物线的解析式为：y=-

1

2

x2-

8

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x+2．