试题

题目：
锐角△ABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG三条直线相交于一点．
答案
解：证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN·CB，BD2=BM·BC
青果学院
∴
CN
BM
=
CE2
BD2
又Rt△CNG∽Rt△CDB，Rt△BMF∽Rt△BEC，
∴GN=
BD
CD
·CN，FM=
CE
BE
·BM
∴
GN
FM
=
BD·BE
CD·CE
·
CN
BM
=
BD·BE
CD·CE
·
CE2
BD2
=
BE·CE
BD·CD
(1)
在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE=EN·BC，BD·CD=DM·BC
∴
BE·CE
BD·CD
=
EN
DM
=
TN
TM
(2)
由（1）（2）得：
GN
FM
=
TN
TM
，又GN∥FM，∴F、G、T三点共线．

证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN
青果学院
∴
DF
FM
=
AH
HR
=
EG
GN

由合比定理得：
DM
FM
=
EN
GN
，∴
GN
FM
=
EN
DM
=
TN
TM
，故F、G、T三点共线．

证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
BT
TC
·
CE
EA
·
AD
DB
=1(1)
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG
∴
CE
EA
=
CG
GH
，
AD
DB
=
HF
FB
，代入(1)得
BT
TC
·
CG
GH
·
HF
FB
=1
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线．
证法4：连接FT交EN于G’，易知
DF
FM
=
EG′
G′N

为了证明F、G、T三点共线，只需证明
DF
FM
=
EG
GN
即可
∵
DF
FM
=
S△BDF
S△BMF
=
1
2
BD·BFsin∠ABE
1
2
BM·BFsin∠CBE
=
BD
BM
·
sin∠ABE
sin∠CBE
EG
GN
=
S△CEG
S△CMG
=
1
2
CE·CGsin∠ACD
1
2
CN·CGsin∠BCD
=
CE
CN
·
sin∠ACD
sin∠BCD

又
BD
BM
=
BC
BD
，
CE
CN
=
BC
CE

∴
DF
FM
=
BCsin∠ABE
BDsin∠CBE
，
EG
GN
=
BCsin∠ACD
CEsin∠BCD
(1)
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE=∠ACD （2）
又
BD
sin∠BCD
=BC=
CE
sin∠CBE
，∴BDsin∠CBE=CEsin∠BCD（3）
将（2）（3）代入（1）得：
DF
FM
=
EG
GN
，故F、G、T三点共线．
解：证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN·CB，BD2=BM·BC
青果学院
∴
CN
BM
=
CE2
BD2
又Rt△CNG∽Rt△CDB，Rt△BMF∽Rt△BEC，
∴GN=
BD
CD
·CN，FM=
CE
BE
·BM
∴
GN
FM
=
BD·BE
CD·CE
·
CN
BM
=
BD·BE
CD·CE
·
CE2
BD2
=
BE·CE
BD·CD
(1)
在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE=EN·BC，BD·CD=DM·BC
∴
BE·CE
BD·CD
=
EN
DM
=
TN
TM
(2)
由（1）（2）得：
GN
FM
=
TN
TM
，又GN∥FM，∴F、G、T三点共线．

证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN
青果学院
∴
DF
FM
=
AH
HR
=
EG
GN

由合比定理得：
DM
FM
=
EN
GN
，∴
GN
FM
=
EN
DM
=
TN
TM
，故F、G、T三点共线．

证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
BT
TC
·
CE
EA
·
AD
DB
=1(1)
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG
∴
CE
EA
=
CG
GH
，
AD
DB
=
HF
FB
，代入(1)得
BT
TC
·
CG
GH
·
HF
FB
=1
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线．
证法4：连接FT交EN于G’，易知
DF
FM
=
EG′
G′N

为了证明F、G、T三点共线，只需证明
DF
FM
=
EG
GN
即可
∵
DF
FM
=
S△BDF
S△BMF
=
1
2
BD·BFsin∠ABE
1
2
BM·BFsin∠CBE
=
BD
BM
·
sin∠ABE
sin∠CBE
EG
GN
=
S△CEG
S△CMG
=
1
2
CE·CGsin∠ACD
1
2
CN·CGsin∠BCD
=
CE
CN
·
sin∠ACD
sin∠BCD

又
BD
BM
=
BC
BD
，
CE
CN
=
BC
CE

∴
DF
FM
=
BCsin∠ABE
BDsin∠CBE
，
EG
GN
=
BCsin∠ACD
CEsin∠BCD
(1)
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE=∠ACD （2）
又
BD
sin∠BCD
=BC=
CE
sin∠CBE
，∴BDsin∠CBE=CEsin∠BCD（3）
将（2）（3）代入（1）得：
DF
FM
=
EG
GN
，故F、G、T三点共线．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；三角形的面积；射影定理．
此题由4种证法：证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2=CN·CB，BD2=BM·BC又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE=EN·BC，BD·CD=DM·BC．由（1）（2）得
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN，由合比定理得三点共线，
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
BT
TC
·
CE
EA
·
AD
DB
=1(1)
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC，由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线．
证法4：连接FT交EN于G’，易知
DF
FM
=
EG′
G′N
为了证明F、G、T三点共线，只需证明
DF
FM
=
EG
GN
即可．
此题考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形的面积，射影定理的理解和掌握，此题解法由4种，用到的定理较多，如果要求把这几种解法都写出来，难度较大，那就是一道难题了．
证明题．
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