试题

（2010·金华模拟）我们定义这样的路径为动点P的希望之旅：参照图（1），点P从点A出发，先沿水平方向运动，到达图形l₁上的点B₁处后，改为垂直向上运动，到达图形l₂上的点A₁处…，照此规律运动，动点P依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…．点P从点A到点A_n的总路径的长叫做点P从点A到点A_n的希望之旅程d_n．
（1）如图（1），若点A为（0，1），图形l₁为直线y=

1

2

x+

1

2

，图形l₂为直线y=x+1，求点P从A到点A₂的希望之旅程d₂，并直接写出d₃=，d₂₀₁₀=；
（2）如图（2），若点A为（0，1），图形l₁为抛物线y=

1

2

x2（x＞0），图形l₂为抛物线y=x²（x＞0），求点P从A到点A₂的希望之旅程d₂，并直接写出d_n=．

解：（1）根据一次函数关系式可得AB₁=B₁A₁=1，A₁B₂=B₂A₂=2，可证△A₁B₂A₂∽△AB₁A₁，相似比为2，
d₂=2+2²=6，d₃=2+2²+2³=14，
d₂₀₁₀=2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰=2×2²⁰¹⁰-2=2²⁰¹¹-2；

（2）同理得d₂=5，d_n=(

2

)n+2n-1．