试题

题目：
（2007·白下区一模）已知大⊙O的直径AB=acm，分别以OA、OB为直径作⊙O1和⊙O2，并在⊙O与⊙O1和⊙O2的空隙间青果学院作两个半径都为r的⊙O3和⊙O4，且这些圆互相内切或外切（如图所示）．
（1）猜想四边形O1O4O2O3是什么四边形，并说明理由；
（2）求四边形O1O4O2O3的面积．
答案
解：（1）四边形O1O4O2O3为菱形．（1分）
理由如下：
∵⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4互相内切或外切，
又∵⊙O1和⊙O2，⊙O3和⊙O4分别是等圆，
∴O1O4=O4O2=O2O3=O3O1=
a
4
+r．（2分）
∴四边形O1O4O2O3为菱形．（3分）青果学院

（2）连接O3O4必过点O，且O3O4⊥AB．（4分）
∵⊙O3和⊙O4的半径为rcm．
又∵⊙O1、⊙O2的半径为
a
4
cm，
∴在Rt△O3O1O中，有(
a
4
)2+(
a
2
-r)2=(
a
4
+r)2．
解得r=
a
6
．（6分）
∴O3O=
a
2
-
a
6
=
a
3
．
∵四边形O1O4O2O3为菱形，
∴S四边形O1O4O2O3=
a
2
·
a
3
=
a2
6
．（8分）
解：（1）四边形O1O4O2O3为菱形．（1分）
理由如下：
∵⊙O、⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4互相内切或外切，
又∵⊙O1和⊙O2，⊙O3和⊙O4分别是等圆，
∴O1O4=O4O2=O2O3=O3O1=
a
4
+r．（2分）
∴四边形O1O4O2O3为菱形．（3分）青果学院

（2）连接O3O4必过点O，且O3O4⊥AB．（4分）
∵⊙O3和⊙O4的半径为rcm．
又∵⊙O1、⊙O2的半径为
a
4
cm，
∴在Rt△O3O1O中，有(
a
4
)2+(
a
2
-r)2=(
a
4
+r)2．
解得r=
a
6
．（6分）
∴O3O=
a
2
-
a
6
=
a
3
．
∵四边形O1O4O2O3为菱形，
∴S四边形O1O4O2O3=
a
2
·
a
3
=
a2
6
．（8分）
考点梳理
相切两圆的性质；勾股定理；菱形的判定与性质．
（1）根据外切两圆之间之间的关系：圆心距等于两圆半径的和，即可证得四边形的四边相等；
（2）连接O3O4必过点O，且O3O4⊥AB，则菱形被分成了四个全等的直角三角形，根据菱形的面积公式即可求解．
本题主要考查了两圆外切时的关系以及菱形的判定，菱形的计算可以通过作对角线分成四个全等的直角三角形进行计算．
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