试题

题目：
青果学院（2011·南昌模拟）如图AOB是半径为1的单位圆的
1
4
，半圆O1与半圆O2相切且与
AB
内切于A、B，O1，O2分别在OA，OB上，若两圆的半径和为x，面积之和为y，求y与x的函数关系式？
答案
青果学院解：设⊙O1的半径为a，⊙O2的半径为b
a+b=x
1
2
πa2+
1
2
πb2=y
，
即
a+b=x
a2+b2=
2y
π
，
连O1O2，在Rt△O1O2O中，O2O=1-a，OO2=1-b，O1O2=a+b，
∴（1-a）2+（1-b）2=（a+b）2，
∴1-2a+a2+1-2b+b2=（a+b）2，
2-2（a+b）+（a2+b2）=（a+b）2，
即2-2x+
2y
π
=x2，
∴y=
π
2
x2+πx-π．
青果学院解：设⊙O1的半径为a，⊙O2的半径为b
a+b=x
1
2
πa2+
1
2
πb2=y
，
即
a+b=x
a2+b2=
2y
π
，
连O1O2，在Rt△O1O2O中，O2O=1-a，OO2=1-b，O1O2=a+b，
∴（1-a）2+（1-b）2=（a+b）2，
∴1-2a+a2+1-2b+b2=（a+b）2，
2-2（a+b）+（a2+b2）=（a+b）2，
即2-2x+
2y
π
=x2，
∴y=
π
2
x2+πx-π．
考点梳理
相切两圆的性质．
想要建立起以x为自变量的函数y的解析式，则必须要找出中间的等量关系，利用这个等量关系，把y用x表示出来．
本题主要考查了学生对几何题目的认识和把握，理清各个变量之间的关系，然后根据等量关系列出等式化简即可．
常规题型．
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