试题

（2000·朝阳区）一种外形为圆柱体的易拉罐饮料，它的底面直径为6cm，高为10cm，单层直立码放在长方体的纸箱内，每箱4行，每行6个．易拉罐的底面印在箱底的痕迹如图所示．
（1）请你设计两种节约纸板的码放方案，使包装箱为长方体，每箱装24个，可以改变它的长和宽，高仍为10cm．把你的设计方案中易拉罐的底面印在箱底的痕迹示意图画在下面的方格纸上，可以附必要的文字说明．
（2）某饮料厂的一条流水线每天生产这样的易拉罐饮料6×10⁴个，按照你设计的方案分别比原来节约多少纸板（不计包装箱纸板的重叠部分）？

解：（1）设计方案（一）如图所示
．
设计方案（二）如图3所示．

（2）由原码放方案的图可知，

长方体底面的边
AD=6×6=36，AB=6×4=24，
∴S₁=2×（36×24+36×10+24×10）=2928（cm²）．
设计方案（一）如图2，由圆与圆外切的性质可知，
AD=6×6+3=39，
△O₁O₂O₃为等边三角形，且O₁O₂=6，O₂E⊥O₁O₂，
∴O3E=6×sin60°=3

3

∴AB=3×3

3

+6=6+9

3

∴S2=2×[39×(6+9

3

)+39×10+(6+9

3

)×10]
=882

3

+1368
≈2895.6（cm²）．
6×10⁴÷24=2500=2.5×10³．
第一种可节约：
（2928-2895.6）×2.5×10³=8.343×10³（cm²）；
设计方案（二）如图3，同理可得
AB=4×6+3=27，
AD=5×3

3

+6=15

3

+6
∴S3=2×[(6+15

3

)×27+(6+15

3

)×10+27×10]
=1110

3

+984≈2871（cm²）
第二种可节约（2928-2871）×2.5×10³=1.46775×10⁴（cm²）．
答：按照两种设计方案分别比原来节约8.343×10³cm²和1.46775×10⁴cm²．
解：（1）设计方案（一）如图所示
．
设计方案（二）如图3所示．

（2）由原码放方案的图可知，

长方体底面的边
AD=6×6=36，AB=6×4=24，
∴S₁=2×（36×24+36×10+24×10）=2928（cm²）．
设计方案（一）如图2，由圆与圆外切的性质可知，
AD=6×6+3=39，
△O₁O₂O₃为等边三角形，且O₁O₂=6，O₂E⊥O₁O₂，
∴O3E=6×sin60°=3

3

∴AB=3×3

3

+6=6+9

3

∴S2=2×[39×(6+9

3

)+39×10+(6+9

3

)×10]
=882

3

+1368
≈2895.6（cm²）．
6×10⁴÷24=2500=2.5×10³．
第一种可节约：
（2928-2895.6）×2.5×10³=8.343×10³（cm²）；
设计方案（二）如图3，同理可得
AB=4×6+3=27，
AD=5×3

3

+6=15

3

+6
∴S3=2×[(6+15

3

)×27+(6+15

3

)×10+27×10]
=1110

3

+984≈2871（cm²）
第二种可节约（2928-2871）×2.5×10³=1.46775×10⁴（cm²）．
答：按照两种设计方案分别比原来节约8.343×10³cm²和1.46775×10⁴cm²．