试题

题目：
半径为r的三个圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，⊙O与这三个圆两两相切，则⊙O的半径为
(
2
3
3
-1)r或(
2
3
3
+1)r
(
2
3
3
-1)r或(
2
3
3
+1)r
．
答案
(
2
3
3
-1)r或(
2
3
3
+1)r

青果学院解：设待求圆半径为x，如图所示，
O为内切圆圆心，A、B、C分别为半径为r的圆的圆心，
由于三圆半径相等，图形具有轴对称性，延长AO交BC与D，D也为B、C圆的切点，
易知，∠ABO=∠OBD=60°÷2=30°，
在小三角形OBD中，又有∠ODB=90°，
∴OD=
OB2-BD2
=
OB
2
，
即
(x+r)2-r2
=
x+r
2
，
计算得到：x=（
2
3
3
-1）r，
当外切时，外切圆半径为x=（
2
3
3
+1）r，
故答案为：（
2
3
3
-1）r或（
2
3
3
+1）r．
考点梳理
相切两圆的性质．
分内切与外切两种情况，根据相切两圆的性质及勾股定理进行解答即可．
此题主要考查了相切两圆的性质以及解直角三角形的应用，正确的构造直角三角形是解决此类问题的关键．
计算题．
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