试题

题目：
青果学院如图，⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2，1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD+3PD的值为（　　）



答案
D
青果学院解：连接O1O2，
∵AO2=1，O1O2=3，
∴AO1=
32-1
=2
2
，
∴BO1=
O1A2+AB2 
=
8+4
=2
3
，
∴由切割线定理O1A2=O1D·O1B，得O1D=
8
2
3
=
4
3
3
，
∴CD=O1D-O1C=
4
3
3
-2，
又∵cos∠O2O1B=
9+12-1
12
3
=
5
3
9
，
则PD2=4+
16
3
-
16
3
3
cos∠O2O1B=4+
16
3
-
16
3
3
×
5
3
9
=
4
9
，
∴PD=
2
3
，
∴CD+3PD=
4
3
3
-2+3×
2
3
=
4
3
3
．
故选D．
考点梳理
相切两圆的性质．
分别求出CD和PD的长度，再计算CD+3PD：
（1）由相似关系求PD的长度．连接O1O2，则O1O2过P点，三角形O1PD相似于O1BO2，由相似关系求出PD；
（2）由切割线定理求CD的长度．这个要分两步做：
①由勾股定理求出O1A、O1B的长度．在直角三角形O1O2A和O1AB中，分别用勾股定理求出O1A、O1B的长度；
②由切割线定理求O1D的长度．由切割线定理O1A2=O1D·O1B，所以O1D可求出来．而O1D=O1C+CD=2+CD，故CD可求．
本题考查了相切两圆的性质，三角形的相似以及性质，是重点知识，要熟练掌握．
计算题．
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