试题

如图，BC为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，C为切点，连接AB交⊙O于点P．
（1）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求AP的长；
（2）点Q是AC的中点，判断PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．

解：（1）∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，即∠BCA=90°；
在Rt△BCA中，∠B=60°，BC=4cm，
故AB=8cm，AC=4

3

cm；
由切割线定理知：AC²=AP·AB，即AP=AC²÷AB=48÷8=6cm．

（2）连接CP、OP，则∠CPB=∠CPA=90°；
在Rt△CPA中，Q是AC的中点，则QP=QC，
故∠QCP=∠QPC；
又∵∠OCP=∠OPC，
∴∠OCP+∠QCP=∠OPC+∠QPC，即∠OPQ=∠OCQ=90°，
因此PQ与⊙O相切．
解：（1）∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，即∠BCA=90°；
在Rt△BCA中，∠B=60°，BC=4cm，
故AB=8cm，AC=4

3

cm；
由切割线定理知：AC²=AP·AB，即AP=AC²÷AB=48÷8=6cm．

（2）连接CP、OP，则∠CPB=∠CPA=90°；
在Rt△CPA中，Q是AC的中点，则QP=QC，
故∠QCP=∠QPC；
又∵∠OCP=∠OPC，
∴∠OCP+∠QCP=∠OPC+∠QPC，即∠OPQ=∠OCQ=90°，
因此PQ与⊙O相切．