试题

如图：已知点C在圆O上，P是圆O外一点；割线PO交圆O于点B、A，已知AC=PC，∠COB=2∠PCB，且PB=2；
（1）求证：PC是圆O的切线；
（2）求tan∠P；
（3）M是圆O的下半圆弧上的一动点，当M点运动到使△ABM的面积最大时，过CM的直线交AB于点N，求MN，MC的值．

（1）证明：∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A．
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA．
∴∠PCB=∠OCA．
∵AB是直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°．
∴∠PCB+∠BCO=90°．
∴∠OCP=90°．
∴PC是圆O的切线．

（2）解：∵AC=PC，
∴∠P=∠A．
设∠A=x°，则∠PCB=∠P=∠OCA=x°，
∴∠COB=2∠PCB=2x°，∠CBO=∠P+∠PCB=2x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=2x°．
∴x=30°，tan∠P=

3

3

．

（3）解：在Rt△OCP中，
∵∠OPC=30°，
∴OP=2OC．
∵PB=2，
∴OC=OB=2．
∴OP=4，PC=2

3

．
过O作OM⊥AB于O，则△ABM的面积最大．
∵∠COM=150°，OC=OM，
∴∠M=∠OCM=15°．
∴∠PNC=75°，
∴∠PCN=∠OCP-∠OCM=75°．
∴PN=PC=2

3

．
∴ON=2

3

+4．
∵OM=2，
∴MN=2

2

+2

6

．
又∵NB·NA=NC·NM，
∴NC=

6

+3

2

．
∴MC=MN-NC=

6

-

2

．
∴MN=2

2

+2

6

，MC=

6

-

2

．
（1）证明：∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A．
∵OC=OA，
∴∠A=∠OCA．
∴∠PCB=∠OCA．
∵AB是直径，
∴∠OCA+∠BCO=90°．
∴∠PCB+∠BCO=90°．
∴∠OCP=90°．
∴PC是圆O的切线．

（2）解：∵AC=PC，
∴∠P=∠A．
设∠A=x°，则∠PCB=∠P=∠OCA=x°，
∴∠COB=2∠PCB=2x°，∠CBO=∠P+∠PCB=2x°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=2x°．
∴x=30°，tan∠P=

3

3

．

（3）解：在Rt△OCP中，
∵∠OPC=30°，
∴OP=2OC．
∵PB=2，
∴OC=OB=2．
∴OP=4，PC=2

3

．
过O作OM⊥AB于O，则△ABM的面积最大．
∵∠COM=150°，OC=OM，
∴∠M=∠OCM=15°．
∴∠PNC=75°，
∴∠PCN=∠OCP-∠OCM=75°．
∴PN=PC=2

3

．
∴ON=2

3

+4．
∵OM=2，
∴MN=2

2

+2

6

．
又∵NB·NA=NC·NM，
∴NC=

6

+3

2

．
∴MC=MN-NC=

6

-

2

．
∴MN=2

2

+2

6

，MC=

6

-

2

．