试题

题目：
如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．
（1）如图甲，若PA=8，PC=10，CD=6．
①求sin∠APC的值；②sin∠BOD=
273
21
273
21
；
（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD=BD；②若
PA
PC
=
4
5
，试求cos∠BAD的值青果学院．
答案
273
21

解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．
①根据垂径定理，得CE=3．设圆的半径是r．
根据勾股定理，得青果学院
OP2-PE2=OC2-CE2，
（8+r）2-169=r2-9，
解得r=6．
则OE=3
3
．
则sin∠APC=
OE
OP
=
3
3
14
；
②设OF=x．
根据勾股定理，得
PD2-PF2=OD2-OF2，
256-（14+x）2=36-x2，
解得x=
6
7
．
所以DF=
2
273
7
．
所以sin∠BOD=
DF
OD
=
273
21
．

（2）①∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
又OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
所以弧CD=弧BD，
所以CD=BD；
②∵AC∥OD，
∴
CD
OA
=
PC
PA
=
5
4
．
又CD=BD，AB=2OA，
∴
BD
AB
=
5
8
．
∴cos∠BAD=
AD
AB
=
39
8
．
考点梳理
切割线定理；平行线的性质；勾股定理；垂径定理．
（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．根据垂径定理和勾股定理求得有关线段的长，再进一步根据锐角三角函数的概念求解；
（2）根据圆周角定理的推论和等弧对等弦进行证明，根据平行线等分线段定理进行求解．
此题综合运用了垂径定理、勾股定理、圆周角定理的推论、等弧对等弦、平行线等分线段定理等，有一定的难度．
计算题；证明题．
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