试题

题目：
青果学院（2001·天津）如图，P是⊙O外一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=4
3
．求∠EFD的度数．
答案
青果学院解：连接DO；
∵PD为切线，PEF为割线，
∴PD2=PE·PF；
∵PD=4
3
，PF=12，
∴PE=
PD2
PF
=4，
∴EF=PF-PE=8，EO=4；
∵PD为切线，D为切点，
∴OD⊥PD；
∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，
∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，
∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，
∴∠EFD=
1
2
∠DOP=30°．
青果学院解：连接DO；
∵PD为切线，PEF为割线，
∴PD2=PE·PF；
∵PD=4
3
，PF=12，
∴PE=
PD2
PF
=4，
∴EF=PF-PE=8，EO=4；
∵PD为切线，D为切点，
∴OD⊥PD；
∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，
∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，
∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，
∴∠EFD=
1
2
∠DOP=30°．
考点梳理
切割线定理．
连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在直角三角形OPD中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据圆周角定理进行计算要求的角．
此题综合运用了切割线定理、切线的性质定理以及直角三角形的性质和圆周角定理．
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