试题

（2002·哈尔滨）如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．
（1）求证：AB·AC=AE·AF；
（2）若AT=2，⊙O₁与⊙O₂的半径之比为1：3，求AE的长．

（1）证明：连接BF、CE；
∵TA是两圆的公切线，
∴∠TAB=∠BFA，∠NAE=∠ACE；
∵∠TAB=∠NAE，
∴∠BFA=∠ACE；
∴BF∥CE；
∴△BAF∽△EAC；
∴

AB

AE

=

AF

AC

，即AB·AC=AE·AF；

（2）解：连接O₁O₂，过O₁作O₁M⊥EC于M；
∵TA、BC都是两圆的切线，
∴TB=TA=TC，即△BAC是Rt△，且∠BAC=90°；
∴∠BAF=∠CAE=90°；
∴BF、EC分别是两圆的直径；
设⊙₁的半径为R，则⊙O₂的半径为3R；
Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=R+3R=4R，O₂M=3R-R=2R；
∴∠O₁O₂M=60°，O₁O₂=O₁M÷sin60°；
∵O₁M=BC=2TA=4，则O₁O₂=

8 3

3

；
∴O₂A=2

3

；
Rt△EAC中，EC=2O₂A=4

3

，∠E=

1

2

∠O₁O₂M=30°；
∴AE=EC·cos30°=6．
（1）证明：连接BF、CE；
∵TA是两圆的公切线，
∴∠TAB=∠BFA，∠NAE=∠ACE；
∵∠TAB=∠NAE，
∴∠BFA=∠ACE；
∴BF∥CE；
∴△BAF∽△EAC；
∴

AB

AE

=

AF

AC

，即AB·AC=AE·AF；

（2）解：连接O₁O₂，过O₁作O₁M⊥EC于M；
∵TA、BC都是两圆的切线，
∴TB=TA=TC，即△BAC是Rt△，且∠BAC=90°；
∴∠BAF=∠CAE=90°；
∴BF、EC分别是两圆的直径；
设⊙₁的半径为R，则⊙O₂的半径为3R；
Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=R+3R=4R，O₂M=3R-R=2R；
∴∠O₁O₂M=60°，O₁O₂=O₁M÷sin60°；
∵O₁M=BC=2TA=4，则O₁O₂=

8 3

3

；
∴O₂A=2

3

；
Rt△EAC中，EC=2O₂A=4

3

，∠E=

1

2

∠O₁O₂M=30°；
∴AE=EC·cos30°=6．