试题

题目：
设H是等腰三角形ABC的垂心．在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积S△ABC·S△HBC的值变大？变小？还是不变？证明你的结论．
答案
青果学院证明：延长HD至G，使DG=HD，连BH、CH、BG、CG，易证四边形HBGC是菱形，则∠3=∠1．
因H是垂心，
故A、B、D、E四点共圆，∠1=∠2，
从而∠2=∠3，A、B、G、C四点共圆，AD·DG=BD·CD，
又DG=HD，
故AD·HD=
1
4
BC2．
从而S△ABC·S△HBC=
1
2
·AD·BC·
1
2
HD·BC=
1
16
BC4（定值）．
青果学院证明：延长HD至G，使DG=HD，连BH、CH、BG、CG，易证四边形HBGC是菱形，则∠3=∠1．
因H是垂心，
故A、B、D、E四点共圆，∠1=∠2，
从而∠2=∠3，A、B、G、C四点共圆，AD·DG=BD·CD，
又DG=HD，
故AD·HD=
1
4
BC2．
从而S△ABC·S△HBC=
1
2
·AD·BC·
1
2
HD·BC=
1
16
BC4（定值）．
考点梳理
切割线定理；菱形的判定与性质．
构造以垂心为顶点的菱形HBGC（图），并借助于四点共圆是完成本题的一条捷径．
本题考查的是切割线定理，菱形的判定和性质，三角形的面积．
证明题；几何综合题．
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