试题

（2006·日照）阅读下面的材料：
如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D．
求证：AP·AC+BP·BD=AB²．
证明：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，
∴点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上．
由割线定理得：AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，
所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB²．
当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP²+BP²=AB²成立，那么：
（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB²是否成立？为什么？
（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来．

解：（1）成立．
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC·AP=AM·AD，BD·BP=BM·BC，
∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC；
∵AM·MD+BM·BC=AB²，
∴AP·AC+BP·BD=AB²．

（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；
∴AP·AC=AB·AM①，
∵D、M在以PA为直径的圆上，
∴BP·BD=AB·BM②，
由图象可知：AB=AM-BM③
由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB²．
解：（1）成立．
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC·AP=AM·AD，BD·BP=BM·BC，
∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC；
∵AM·MD+BM·BC=AB²，
∴AP·AC+BP·BD=AB²．

（2）如图（3），过P作PM⊥AB，交AB的延长线于M，连接AD、BC，则C、M在以PB为直径的圆上；
∴AP·AC=AB·AM①，
∵D、M在以PA为直径的圆上，
∴BP·BD=AB·BM②，
由图象可知：AB=AM-BM③
由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB²．