试题

如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数．

解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD=BE，
∵∠B=60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM=EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD=AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE=OF，
∵∠COE=90°-∠C=30°，∴∠OEF=75°，
∵∠DEO=∠EOC=30°，
∴∠DEF=30°+75°=105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE=OF
∴∠OFE=∠OEF．
∴∠OEF=∠C+∠FEC，∠FEC=∠OEF-∠C
又∵∠OEC=90°，
∴∠OEF+∠FEC=90°
即2∠OEF-∠C=90°．
∵∠C=60°，
∴∠OEF=75°，∠CEF=15°．
又∵AC∥DE，∠C=60°，
∴∠DEC=120°．
∵∠CEF=15°，
∴∠DEF=105°
解：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
连接AH和DH，作AM⊥BC，垂足为M．
∵E为切点，∴EH必过圆心，即EH是直径，
∴DH⊥DE，
∵D、E是切点，∴BD=BE，
∵∠B=60°，∴△DBE是正三角形，
∴∠BDE=∠BAC=60°，
∴DE∥AC，DH⊥AC，
由已知得，AM=EH，又AM∥EH，∴四边形AMEH是矩形，
∴AH⊥HE，即AH是切线，
∴AD=AH，AC垂直平分DH，AC必过圆心，
∴AC与EH的交点O是圆心，
∴OE=OF，
∵∠COE=90°-∠C=30°，∴∠OEF=75°，
∵∠DEO=∠EOC=30°，
∴∠DEF=30°+75°=105°
法二：过点E作BC的垂线与圆交于点H，与AC交于点O．
∵BC为切线
∴O为圆心，OE⊥BC．
∵OE=OF
∴∠OFE=∠OEF．
∴∠OEF=∠C+∠FEC，∠FEC=∠OEF-∠C
又∵∠OEC=90°，
∴∠OEF+∠FEC=90°
即2∠OEF-∠C=90°．
∵∠C=60°，
∴∠OEF=75°，∠CEF=15°．
又∵AC∥DE，∠C=60°，
∴∠DEC=120°．
∵∠CEF=15°，
∴∠DEF=105°