试题

如图所示，⊙O的直径AB=2，AD，BC是它的两条切线，且CD与⊙O相切于点E，交AD，BC于点D，C，设AD=x，BC=y．
（1）求证：AD+BC=CD；
（2）求y关于x的函数关系，并画去它的图象；
（3）若x，y是方程2t²-5t+m=0的两根，求x，y的值；
（4）求四边形的ABCD的面积S，（用字母表示）并证明S≥2．

（1）证明：连接OE，
∵AD，BC是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，EC=BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，
即：AD+BC=CD；

（2）解：过点D作DM⊥BC于M，
∵AD，BC是它的两条切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=∠BMD=90°
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=2，BM=AD=x，
∴CD=AD+BC=x+y，CM=BC-BM=y-x，
∵CD²=DM²+CM²，
∴（x+y）²=4+（y-x）²，
即：y=

1

x

，
∴y关于x的函数关系为：y=

1

x

，
它的图象为：

（3）∵x，y是方程2t²-5t+m=0的两根，由根与系数的关系得：
∴xy=

m

2

=1，
解得：m=2，
∴原方程为：2t²-5t+2=0
∴（2t-1）（t-2）=0，
解得：t=

1

2

或t=2，
∴x=

1

2

，y=2；

（4）∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）·DM=

1

2

（x+y）·2=x+y，
∵y=

1

x

，
∴S=x+y=x+

1

x

≥2

x· 1 x

=2，
∴S≥2．
（1）证明：连接OE，
∵AD，BC是它的两条切线，CD与⊙O相切于点E，
∴AD=DE，EC=BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，
即：AD+BC=CD；

（2）解：过点D作DM⊥BC于M，
∵AD，BC是它的两条切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴∠A=∠B=∠BMD=90°
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=2，BM=AD=x，
∴CD=AD+BC=x+y，CM=BC-BM=y-x，
∵CD²=DM²+CM²，
∴（x+y）²=4+（y-x）²，
即：y=

1

x

，
∴y关于x的函数关系为：y=

1

x

，
它的图象为：

（3）∵x，y是方程2t²-5t+m=0的两根，由根与系数的关系得：
∴xy=

m

2

=1，
解得：m=2，
∴原方程为：2t²-5t+2=0
∴（2t-1）（t-2）=0，
解得：t=

1

2

或t=2，
∴x=

1

2

，y=2；

（4）∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是梯形，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）·DM=

1

2

（x+y）·2=x+y，
∵y=

1

x

，
∴S=x+y=x+

1

x

≥2

x· 1 x

=2，
∴S≥2．