题目:
已知四边形ABCD,以此四边形的四条边为边向外分别作正方形,顺次连接这四个正方形的对角线交点E,F,G,H,得到一个新四边形EFGH.
(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,则四边形EFGH
是
是
(填“是”或“不是”)正方形;
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,则(1)中的结论
能
能
(填“能”或“不能”)成立;
(3)如图3,若四边形ABCD是平行四边形,其他条件不变,判断(1)中的结论是否还成立?若成立,证明你的结论,若不成立,请说明你的理由.
答案
是
能
解:(1)是;
连接EG,FH,

∵E,F,G,H分别是四个正方形对角线的交点,
∴EG与FH平分、垂直且相等,
∴四边形EFGH 是正方形;
(2)能;
连接EG,FH,

∵E,F,G,H分别是四个正方形对角线的交点,
∴EG与FH平分,EG=FH,EG⊥FH,
∴四边形EFGH 是正方形;
(3)证明:连接EF、FG、GH、HE、AE、AH、DG、DH,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
即以ABCD为边的正方形的对角线也相等,
∵点E、G是上述两个正方形的对角线的交点,
∴AH=DH,
易知∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG+45°=90°+∠ADC,
∵平行四边形ABCD中,有∠BAD=180°-∠ADC,
∴∠HAE=360°-(∠HAD+∠BAD+∠BAE)=360°-[45°+(180°-∠ADC)+45°]=90°+∠ADC,
∴∠HDG=∠HAE,
∴△HDG≌△HAE,
∴HG=HE且∠EHA=∠GHD,
同理可证HE=EF=FG,
∴四边形EFGH是菱形,
∵点H是正方形的对角线的交点,
∴∠AHD=90°,即∠AHG+∠GHD=90°,
∴∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是正方形.