试题

题目：
青果学院（2012·惠山区一模）如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为
7
-1
7
-1
．
答案
7
-1

青果学院解：如图，过点C作CD⊥直线l交l于点D，
则四边形ABCD为矩形，通过操作知，当折叠过点A时，即点M与点A重合时，AP的值最大，
此时记为点P1，易证四边形ABNP1为正方形，
由于AC=5，BC=4，
故AB=
AC2-BC2
=
52-42
=3，
当折叠MN过点C时，AP的值最小，此时记为点P2，
由于P2C=BC=4，AB=CD=3，
故P2D=
42-32
=
7
，
故此时AP2=AD-P2D=4-
7
，
线段AP长度的最大值与最小值的差为：3-（4-
7
）=3-4+
7
=
7
-1．
故答案为：
7
-1．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
关键在于找到两个极端，即AP取最大或最小值时，点M或N的位置．经实验不难发现，分别求出点M与A重合时，AP取最大值3和当点N与C重合时，AP的最小值4-
7
 所以可求线段AP长度的最大值与最小值之差．
本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象容易造成错误．
压轴题．
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