试题

题目：
青果学院在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=2，以AB为边作正方形ABDE，连接AD、BE交O，CO=3
2
，则AC的长为（　　）



答案
C
青果学院
解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，
则可得OM是梯形ACFD的中位线，
∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠FBD，
在RT△ACB和RT△BFD中，
∵
AB=BD
∠CAB=∠FBD
∠ACB=∠BFD
，
∴RT△ACB≌RT△BFD，
∴AC=BF，BC=DF，
设AC=x，则OM=
AC+DF
2
=
x+2
2
，CM=
CF
2
=
x+2
2
，
在RT△OCM中，OM2+CM2=OC2，即2（
x+2
2
）2=18，
解得：x=4，即AC的长度为4．
故选C．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定与性质．
延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，先证明RT△ACB≌RT△BFD，然后分别表示出OM、CM的长度，在RT△OCM中利用勾股定理可得出答案．
此题考查了正方形的性质、勾股定理、梯形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，难度较大．
数形结合．
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