试题

以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
 

BD=BA ∠DBE=∠ABC BE=BC

，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，
∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD
=360°-90°-∠BAC-45°
=225°-∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．
则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，
即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；

（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．
由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD=

2

AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=

2

AB．
∴当∠BAC=135°且AC=

2

AB时，四边形ADEG是正方形．
解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
 

BD=BA ∠DBE=∠ABC BE=BC

，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，
∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD
=360°-90°-∠BAC-45°
=225°-∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．
则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，
即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；

（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．
由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD=

2

AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=

2

AB．
∴当∠BAC=135°且AC=

2

AB时，四边形ADEG是正方形．