题目:

如图,在矩形ABCD中,已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点,连接EF.
(1)求BF的长度;
(2)求证:四边形ABEF是正方形;
(3)设点P是线段BF上的一个动点,点N是矩形ABCD的对称中心,是否存在点P,使∠APN=90°?若存在,请直接写出BP的长度;若不存在请说明理由.
答案
(1)解:在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠EBF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∵AB=1,
∴BF=
=
=
;
(2)证明:∵BC=2,E为BC的中点,
∴BE=
BC=
×2=1,
∴AF=BE,
又∵在矩形ABCD中,AF∥BE,∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABEF是矩形,
∵AB=BE=1,
∴四边形ABEF是正方形(邻边相等的矩形是正方形);
(3)存在.理由如下:
∵矩形ABCD的AB=1,BC=2,AF=BE=1,

∴矩形的中心在EF上,且是EF的中点,
∴NE=
EF=
,
过点P作BC的平行线交AB于G,交EF于H,
∵∠ABF=∠EBF=45°,
∴BG=PG=EH,
设BG=x,则AG=1-x,PG=x,PH=1-x,NH=
-x,
∵∠APN=90°,
∴∠APG+∠NPH=180°-90°=90°,
又∵∠APG+∠PAG=90°,
∴∠PAG=∠NPH,
又∵∠AGP=∠PHN=90°,
∴△APG∽△PNH,
∴
=
,
即
=
,
解得x=
,
所以,BP=
=
=
.
(1)解:在矩形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠ABF=∠EBF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∵AB=1,
∴BF=
=
=
;
(2)证明:∵BC=2,E为BC的中点,
∴BE=
BC=
×2=1,
∴AF=BE,
又∵在矩形ABCD中,AF∥BE,∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABEF是矩形,
∵AB=BE=1,
∴四边形ABEF是正方形(邻边相等的矩形是正方形);
(3)存在.理由如下:
∵矩形ABCD的AB=1,BC=2,AF=BE=1,

∴矩形的中心在EF上,且是EF的中点,
∴NE=
EF=
,
过点P作BC的平行线交AB于G,交EF于H,
∵∠ABF=∠EBF=45°,
∴BG=PG=EH,
设BG=x,则AG=1-x,PG=x,PH=1-x,NH=
-x,
∵∠APN=90°,
∴∠APG+∠NPH=180°-90°=90°,
又∵∠APG+∠PAG=90°,
∴∠PAG=∠NPH,
又∵∠AGP=∠PHN=90°,
∴△APG∽△PNH,
∴
=
,
即
=
,
解得x=
,
所以,BP=
=
=
.