试题

（2006·烟台）（1）如图1，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH为正方形．
（2）如图2，有一块边长1米的正方形钢板，被裁去长为

1

4

米、宽为

1

6

米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且P点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？

（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（2分）
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2，（3分）
∴四边形EFGH是菱形，（4分）
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=90°，
∴四边形EFGH是正方形；（5分）

（2）解：如图，设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH过点P．
设AH=x，则AE=1-x．
∵MP∥AH，
∴

1 6

x

=

1-x- 1 4

1-x

，（6分）
整理得12x²-11x+2=0，
解得x1=

1

4

，x2=

2

3

，（7分）
当x=

1

4

时，S_{正方形EFGH}=(

1

4

)2+(1-

1

4

)2=

5

8

，
当x=

2

3

时，S_{正方形EFGH}=(

2

3

)2+(1-

2

3

)2=

5

9

＜

5

8

，
∴当BE=DG=

1

4

米，BF=DH=

3

4

米时，裁下正方形面积最大，面积为

5

8

米²．（9分）
（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（2分）
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2，（3分）
∴四边形EFGH是菱形，（4分）
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=90°，
∴四边形EFGH是正方形；（5分）

（2）解：如图，设原正方形为ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH过点P．
设AH=x，则AE=1-x．
∵MP∥AH，
∴

1 6

x

=

1-x- 1 4

1-x

，（6分）
整理得12x²-11x+2=0，
解得x1=

1

4

，x2=

2

3

，（7分）
当x=

1

4

时，S_{正方形EFGH}=(

1

4

)2+(1-

1

4

)2=

5

8

，
当x=

2

3

时，S_{正方形EFGH}=(

2

3

)2+(1-

2

3

)2=

5

9

＜

5

8

，
∴当BE=DG=

1

4

米，BF=DH=

3

4

米时，裁下正方形面积最大，面积为

5

8

米²．（9分）