试题

（2009·威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为cm²．

解：（1）四边形EFGH是正方形．（1分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，（2分）
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（3分）
∴EF=FG=GH=HE，（4分）
∴四边形EFGH是菱形，（5分）
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，（6分）
∴四边形EFGH是正方形．（7分）

（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，
∴GF=EF=EH=GH=

12+22

=

5

，
∵由（1）知，四边形EFGH是正方形，
∴GO=OF，∠GOF=90°，
由勾股定理得：GO=OF=

10

2

，
∵S_{四边形FCGO}=

1

2

×1×2+

1

2

×

10

2

×

10

2

=

9

4

，
∴S_阴影=(

10

2

+

10

2

)2-S_{四边形FCGO}×4=10-9=1．