试题

题目：
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么，△DEF的面积等于
10
7
10
7
．
答案
10
7

青果学院解：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．
设NE=x1，
∵BE平分∠B，且∠B=9O°，
∴四边形NBME是正方形，
则S四边形NBME+S△ANE+S△CEM=S△ABC，
则x12+
1
2
x1（4-x1）+
1
2
x1（3-x1）=
1
2
×12，
解得，x1=
12
7
；
设BF=x2．根据CF是∠C平分线，可得△QFC≌△BFC，
则S△AFQ+2S△BFC=S△ABC，
则
1
2
x2×1+2（
1
2
x2×4）=
1
2
×12，
解得，x2=
4
3
，
则AF=AB-x2=
5
3
；
设BD=x3，
同理解得，x3=
3
2
，
则CD=4-
3
2
=
5
2
，
∴S△DEF=S△ABC-S△AEF-S△BFD-S△CDE
=
1
2
AB·BC-
1
2
AF·NE-
1
2
BF·FD-
1
2
CD·EM
=6-
1
2
（
5
3
×
12
7
）-
1
2
（
4
3
×
3
2
）-
1
2
（
5
2
×
12
7
）
=
10
7
．
故答案为：
10
7
．
考点梳理
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．
过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．求证四边形NBME是正方形，设NE=x1，根据S四边形NBME+S△ANE+S△CEM=S△ABC，解得x1=
12
7
；设BF=x2．根据S△AFQ+2S△BFC=S△ABC，解得x2=
4
3
，同理解得，x3=
3
2
，然后利用∴S△DEF=S△ABC-S△AEF-S△BFD-S△CDE，将所得数值代入即可．
本题主要考查学生对角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识点的灵活运用，此题涉及到的知识点较多，需要做多条辅助线，计算步骤繁琐，要特别仔细认真，稍有疏忽就出错，属于难题．
计算题．
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