试题

题目：
青果学院如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=3
2
，则MN的长为
5
2
5
2
．
答案
5
2

青果学院解：如图，连接GM，GN，
∵AG=AB，AE=AE，∴△AGE≌△ABE，
同理可证△AGF≌△ADF，
∴BE=EG=4，DF=FG=6，
设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，CE=a-4，CF=a-6，
由勾股定理，得CE2+CF2=EF2，即（a-4）2+（a-6）2=102，
解得a=12或-2（舍去负值），
∴BD=12
2
，
易证△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，
∴MG=BM=3
2
，NG=ND=12
2
-3
2
-MN=9
2
-MN，
∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，
在Rt△GMN中，由勾股定理，得MG2+NG2=MN2，
即（3
2
）2+（9
2
-MN）2=MN2，
解得MN=5
2
．
故答案为：5
2
．
考点梳理
正方形的性质；勾股定理．
连接GM，GN，由AG=AB=AD，利用“HL”证明△AGE≌△ABE，△AGF≌△ADF，从而有BE=EG=4，DF=FG=6，设正方形的边长为a，在Rt△CEF中，利用勾股定理求a的值，再利用勾股定理求正方形对角线BD的长，再证明△ABM≌△AGM，△ADN≌△AGN，得出MG=BM，NG=ND，∠MGN=∠MGA+∠NGA=∠MBA+∠NDA=90°，在Rt△GMN中，利用勾股定理求MN的值．
本题考查了正方形的性质，勾股定理的运用．关键是通过作辅助线，利用图形的对称性证明三角形全等，利用勾股定理进行相关计算．
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