试题

题目:
青果学院(2013·连云港)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上,且∠BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为F,则EF的长为(  )



答案
C
解:在正方形ABCD中,∠ABD=∠ADB=45°,
∵∠BAE=22.5°,
∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,
在△ADE中,∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠DAE=∠AED,
∴AD=DE=4,
∵正方形的边长为4,
∴BD=4
2

∴BE=BD-DE=4
2
-4,
∵EF⊥AB,∠ABD=45°,
∴△BEF是等腰直角三角形,
∴EF=
2
2
BE=
2
2
×(4
2
-4)=4-2
2

故选C.
考点梳理
正方形的性质.
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°,再求出∠DAE的度数,根据三角形的内角和定理求∠AED,从而得到∠DAE=∠AED,再根据等角对等边的性质得到AD=DE,然后求出正方形的对角线BD,再求出BE,最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的
2
2
倍计算即可得解.
本题考查了正方形的性质,主要利用了正方形的对角线平分一组对角,等角对等边的性质,正方形的对角线与边长的关系,等腰直角三角形的判定与性质,根据角的度数的相等求出相等的角,再求出DE=AD是解题的关键,也是本题的难点.
压轴题.
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