答案
A
解:在正方形ABDE和ACFG中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC,
即∠CAE=∠BAG,
∵在△ABG和△AEC中,
,
∴△ABG≌△AEC(SAS),
∴BG=CE,故①正确;
设BG、CE相交于点N,
∵△ABG≌△AEC,
∴∠ACE=∠AGB,
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°,
∴∠CNG=360°-(∠NCF+∠NGF+∠F)=360°-(180°+90°)=90°,
∴BG⊥CE,故②正确;
过点E作EP⊥HA的延长线于P,过点G作GQ⊥AM于Q,
∵AH⊥BC,
∴∠ABH+∠BAH=90°,

∵∠BAE=90°,
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°,
∴∠ABH=∠EAP,
∵在△ABH和△EAP中,
| ∠ABH=∠EAP | ∠AHB=∠P=90° | AB=AE |
| |
,
∴△ABH≌△EAP(AAS),
∴∠EAM=∠ABC,故④正确,
EP=AH,
同理可得GQ=AH,
∴EP=GQ,
∵在△EPM和△GQM中,
| ∠P=∠MQG=90° | ∠EMP=∠GMQ | EP=GQ |
| |
,
∴△EPM≌△GQM(AAS),
∴EM=GM,
∴AM是△AEG的中线,故③正确.
综上所述,①②③④结论都正确.
故选A.