试题

（2013·齐齐哈尔）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中线 ④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

A
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，
即∠CAE=∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，

AB=AE ∠CAE=∠BAG AC=AG

，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE=∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，
∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，

∠ABH=∠EAP ∠AHB=∠P=90° AB=AE

，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM=∠ABC，故④正确，
EP=AH，
同理可得GQ=AH，
∴EP=GQ，
∵在△EPM和△GQM中，

∠P=∠MQG=90° ∠EMP=∠GMQ EP=GQ

，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=GM，
∴AM是△AEG的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选A．