试题

（2010·潼南县）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△DAF．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠AGB=30°，
∵∠1+∠4=∠DAB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴DF⊥AG，
∴DF=

1

2

AD=1，
∴AF=

3

，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE=DF=1，
∴EF=

3

-1．
故所求EF的长为

3

-1．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△ABE≌△DAF．

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∠AGB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠AGB=30°，
∵∠1+∠4=∠DAB=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AFD=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴DF⊥AG，
∴DF=

1

2

AD=1，
∴AF=

3

，
∵△ABE≌△DAF，
∴AE=DF=1，
∴EF=

3

-1．
故所求EF的长为

3

-1．