试题

（2012·黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．

解：（1）关系：∠AFC=∠ACB-∠DAC，…（2分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）
在△ABD和△ACF中，

AD=AF ∠DAB=∠FAC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）
∴∠AFC=∠ADB，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）
∴∠ADB=∠ACB-∠DAC，
∵∠ADB=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC；…（6分）

（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
又∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠DAB=∠FAC，
在△ABD和△ACF中，

AD=AF ∠DAB=∠FAC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ADB=∠AFC，
在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，
则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．
解：（1）关系：∠AFC=∠ACB-∠DAC，…（2分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠FAD=90°，
∵∠BAC=90°，∠FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，…（3分）
在△ABD和△ACF中，

AD=AF ∠DAB=∠FAC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），…（4分）
∴∠AFC=∠ADB，
∵∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠ADB+∠DAC，…（5分）
∴∠ADB=∠ACB-∠DAC，
∵∠ADB=∠AFC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC；…（6分）

（2）∠AFC、∠ACB、∠DAC满足的关系式为：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°，…（8分）
证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
又∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，即∠DAB=∠FAC，
在△ABD和△ACF中，

AD=AF ∠DAB=∠FAC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ADB=∠AFC，
在△ADC中，∠ADB+∠ACB+∠DAC=180°，
则∠AFC+∠ACB+∠DAC=180°．