试题

（2008·淄博）正方形ABCD的对角线交点为O，两条对角线把它分成了四个面积相等的三角形．
（1）平行四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；
（2）四边形ABCD的两条对角线互相垂直，交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；
（3）四边形ABCD的两条对角线交点为O，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试判断S₁，S₂，S₃，S₄的关系，并加以证明；
（4）四边形ABCD的两条对角线相等，交点为O，∠BAC=∠BDC，若△AOB，△BOC，△COD，△DOA面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，试只用S₁，S₃或只用S₂，S₄表示四边形ABCD的面积S．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵△AOB，△BOC的边OA，OC上的高相同，
∴S₁=S₂，
同理S₂=S₃，S₃=S₄，S₄=S₁，
∴S₁=S₂=S₃=S₄．

（2）∵AC⊥BD，垂足为O，
∴S₁=

1

2

OA·OB，S₂=

1

2

OB·OC，S₃=

1

2

OC·OD，S₄=

1

2

OD·OA，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（3）设点B到线段AC所在直线的距离为h₁，点D到线段AC所在直线的距离为h₂，
∴S₁=

1

2

OA·h₁，S₂=

1

2

OC·h₁，S₃=

1

2

OC·h₂，S₄=

1

2

OA·h₂，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（4）∵BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠DCA=∠ABD，
当AB与CD不平行时，必相交于一点，
设线段BA与CD的延长线交于点E，
∵AC=BD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AE=DE，CE=BE，
∴AB=DC，
∴△AOB≌△DOC，
∴S₁=S₃，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₁²=S₂S₄，
∴S=S₁+S₂+S₃+S₄=2S₁+S₂+S₄=S₂+S₄+2

S2S4

（或=（

S2

+

S4

）²）；
当AB与CD平行时，则△ABD与△BAC同底等高，有S₁+S₂=S₁+S₄，
∴S₂=S₄，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₂²=S₁S₃，S=S₁+S₃+2S₂=S₁+S₃+2

S1S3

（或=（

S1

+

S3

）²）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵△AOB，△BOC的边OA，OC上的高相同，
∴S₁=S₂，
同理S₂=S₃，S₃=S₄，S₄=S₁，
∴S₁=S₂=S₃=S₄．

（2）∵AC⊥BD，垂足为O，
∴S₁=

1

2

OA·OB，S₂=

1

2

OB·OC，S₃=

1

2

OC·OD，S₄=

1

2

OD·OA，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（3）设点B到线段AC所在直线的距离为h₁，点D到线段AC所在直线的距离为h₂，
∴S₁=

1

2

OA·h₁，S₂=

1

2

OC·h₁，S₃=

1

2

OC·h₂，S₄=

1

2

OA·h₂，
∴S₁S₃=S₂S₄；

（4）∵BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠DCA=∠ABD，
当AB与CD不平行时，必相交于一点，
设线段BA与CD的延长线交于点E，
∵AC=BD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC≌△DEB，
∴AE=DE，CE=BE，
∴AB=DC，
∴△AOB≌△DOC，
∴S₁=S₃，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₁²=S₂S₄，
∴S=S₁+S₂+S₃+S₄=2S₁+S₂+S₄=S₂+S₄+2

S2S4

（或=（

S2

+

S4

）²）；
当AB与CD平行时，则△ABD与△BAC同底等高，有S₁+S₂=S₁+S₄，
∴S₂=S₄，
∵S₁S₃=S₂S₄，
∴S₂²=S₁S₃，S=S₁+S₃+2S₂=S₁+S₃+2

S1S3

（或=（

S1

+

S3

）²）．