试题

题目：
（2001·嘉兴）如图，已知正方形ABCD，直线AG分别交BD，CD于点E、F，交BC的延长线于点G，点H是线段FG上的点，且青果学院HC⊥CE，
（1）求证：点H是GF的中点；
（2）设
DE
BE
=x(0＜x＜1)，
S△ECH
S△GCF
=y，请用含x的代数式表示y．
答案
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，青果学院
∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中点；

（2）解：过点E作EM⊥CD于M，则有y=
S△ECF+S△FCH
S△FCG
=
1
2
+
S△ECF
S△FCG
=
1
2
+
EM
CG
，
∵AD∥BG，
∴
DE
EB
=
AD
BG
，
∴
AD
BG-AD
=
DE
BE-DE
，
∴
AD
CG
=
x
1-x
，
又∵
EM
BC
=
DE
BD
=
x
1+x
，
∴
EM
CG
=
EM·AD
BC·CG
=
x2
1-x2
，
∴y=
1
2
+
x2
1-x2
=
1+x2
2(1-x2)
．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，青果学院
∴AD∥BG，
∴∠DAG=∠AGB，
∵AD=DC，∠ADB=∠CDB，
∴△ADE≌△CDE，（SAS）
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠ECD+∠DCH=90°，∠DCH+∠GCH=90°，
∴∠ECD=∠GCH，
∵∠DAG=∠BGA，∠DAE=∠DCE，
∴在Rt△GCF中∠HCG=∠FGC，
∴∠HCD=∠HFC，
∴FH=CH=GH，即H是GF的中点；

（2）解：过点E作EM⊥CD于M，则有y=
S△ECF+S△FCH
S△FCG
=
1
2
+
S△ECF
S△FCG
=
1
2
+
EM
CG
，
∵AD∥BG，
∴
DE
EB
=
AD
BG
，
∴
AD
BG-AD
=
DE
BE-DE
，
∴
AD
CG
=
x
1-x
，
又∵
EM
BC
=
DE
BD
=
x
1+x
，
∴
EM
CG
=
EM·AD
BC·CG
=
x2
1-x2
，
∴y=
1
2
+
x2
1-x2
=
1+x2
2(1-x2)
．
考点梳理
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
（1）由已知证得△ADE≌△CDE，得到∠DAE=∠DCE，再由同角和等角的余角相等得到∠HCG=∠FGC，∠HCD=∠HFC，故有FH=CH=GH，即H是GF的中点；
（2）过点E作EM⊥CD于M，由于y=
S△ECF+S△FCH
S△FCG
=
1
2
+
S△ECF
S△FCG
=
1
2
+
EM
CG
，由于AD∥BG，得
DE
EB
=
AD
BG
由比例的性质求得用含x的代数式表示
EM
CG
的值，代入前式即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
代数几何综合题；压轴题．
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