试题

（2012·重庆模拟）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交CB的延长线于F，连接EF，取EF的中点P，连接AP、BP．
（1）若AB=2，∠DAE=30°，求四边形ABCE的面积；
（2）求证：∠BPF=45°-∠BAP．

（1）解：∵正方形ABCD的边AB=2，
∴AD=AB=2，
∵∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即2²+DE²=（2DE）²，
解得DE=

2 3

3

，
∴S_{四边形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，
=2²-

1

2

×

2 3

3

×2，
=4-

2 3

3

；

（2）证明：如图，连接CP，
∵P是EF的中点，AF⊥AE，∠BCE=90°，
∴AP=

1

2

EF，CP=

1

2

EF，
∴AP=CP，
在△ABP和△CBP中，
∵

AP=CP AB=CB BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBP=45°，
∵CP=FP=

1

2

EF，
∴∠BFP=∠BCP，
∴∠BFP=∠BAP，
在△BFP中，∠BPF=∠CBP-∠BFP=45°-∠BAP．
（1）解：∵正方形ABCD的边AB=2，
∴AD=AB=2，
∵∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即2²+DE²=（2DE）²，
解得DE=

2 3

3

，
∴S_{四边形ABCE}=S_{正方形ABCD}-S_△ADE，
=2²-

1

2

×

2 3

3

×2，
=4-

2 3

3

；

（2）证明：如图，连接CP，
∵P是EF的中点，AF⊥AE，∠BCE=90°，
∴AP=

1

2

EF，CP=

1

2

EF，
∴AP=CP，
在△ABP和△CBP中，
∵

AP=CP AB=CB BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SSS），
∴∠ABP=∠CBP，∠BAP=∠BCP，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBP=45°，
∵CP=FP=

1

2

EF，
∴∠BFP=∠BCP，
∴∠BFP=∠BAP，
在△BFP中，∠BPF=∠CBP-∠BFP=45°-∠BAP．