试题

（2013·北碚区模拟）如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

（1）证明：连接PC．
∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=

1

2

EF，PC=

1

2

EF，
∴PA=PC．
又∵AD=CD，PD=PD（公共边），
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．
∵P是EF的中点，
∴PH=

1

2

EC．
设EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°，
∴EF=2x，FC=

3

x，BE=2-x．
在Rt△ABE中，2²+（2-x）²=（

2

x）²，即x²+4x-8=0，
解得 x₁=-2-2

3

（舍去），x₂=-2+2

3

．
∴PH=-1+

3

，FD=

3

（-2+2

3

）-2=-2

3

+4．
∴S_△DPF=

1

2

（-2

3

+4）×(-1+

3

)=3

3

-5．
（1）证明：连接PC．
∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中点，
∴PA=

1

2

EF，PC=

1

2

EF，
∴PA=PC．
又∵AD=CD，PD=PD（公共边），
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．
∵P是EF的中点，
∴PH=

1

2

EC．
设EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°，
∴EF=2x，FC=

3

x，BE=2-x．
在Rt△ABE中，2²+（2-x）²=（

2

x）²，即x²+4x-8=0，
解得 x₁=-2-2

3

（舍去），x₂=-2+2

3

．
∴PH=-1+

3

，FD=

3

（-2+2

3

）-2=-2

3

+4．
∴S_△DPF=

1

2

（-2

3

+4）×(-1+

3

)=3

3

-5．