试题

（2013·常州模拟）如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．

解：（1）当△BEF是等边三角形时，∠ABE=30°．
∵AB=12，
∴AE=4

3

，
∴BF=BE=8

3

．

（2）作EG⊥BF，垂足为点G，

根据题意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y，
∴y²=（y-x）²+12²，
∴所求的函数解析式为y=

x2+144

2x

（0＜x＜12）．


（3）∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴点A'落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴

x2+144

2x

-x=12．
整理得x²+24x-144=0，
解得x=-12±12

2

，
经检验：x=-12±12

2

都原方程的根，
但x=-12-12

2

不符合题意，舍去，
当AE=12

2

-12时，△A'BF为等腰三角形．
解：（1）当△BEF是等边三角形时，∠ABE=30°．
∵AB=12，
∴AE=4

3

，
∴BF=BE=8

3

．

（2）作EG⊥BF，垂足为点G，

根据题意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y，
∴y²=（y-x）²+12²，
∴所求的函数解析式为y=

x2+144

2x

（0＜x＜12）．


（3）∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴点A'落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴

x2+144

2x

-x=12．
整理得x²+24x-144=0，
解得x=-12±12

2

，
经检验：x=-12±12

2

都原方程的根，
但x=-12-12

2

不符合题意，舍去，
当AE=12

2

-12时，△A'BF为等腰三角形．