试题

（2008·东城区一模）在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（50，0），B（50，50），C（0，50）．若正方形OABC的内部（边界及顶点除外）一格点P（“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点）满足S_△POA·S_△PBC=S_△PAB·S_△POC，就称P为“好点”．
（1）请你判断：P（20，15）是“好点”吗？
（2）求出正方形OABC内部“好点”的个数．

解：（1）∵S_△POA·S_△PBC=

1

2

×50×15×

1

2

×50×35=25²×15×35，
S_△PAB·S_△POC=

1

2

×50×30×

1

2

×50×20=50²×30×20，
∴S_△POA·S_△PBC≠S_△PAB·S_△POC．
∴P（20，15）不是“好点”．

（2）设P（x，y），其中x，y均为正整数，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA·S_△PBC=S_△PAB·S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
于是，点P在对角线OB或AC上．
故满足条件的“好点”共有2×49-1=97（个）．
解：（1）∵S_△POA·S_△PBC=

1

2

×50×15×

1

2

×50×35=25²×15×35，
S_△PAB·S_△POC=

1

2

×50×30×

1

2

×50×20=50²×30×20，
∴S_△POA·S_△PBC≠S_△PAB·S_△POC．
∴P（20，15）不是“好点”．

（2）设P（x，y），其中x，y均为正整数，且0＜x＜50，0＜y＜50．
由S_△POA·S_△PBC=S_△PAB·S_△POC，
得y（50-y）=x（50-x），即x²-y²-50x+50y=0，即（x-y）（x+y-50）=0．
∴x=y或x+y=50．
于是，点P在对角线OB或AC上．
故满足条件的“好点”共有2×49-1=97（个）．