试题

（2011·杭州一模）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2和1，AE的延长线与CG交于点P．
（1）求证：AP⊥CG；
（2）求EP的长．

解：（1）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=DC，∠ADC=∠CDG=90°，ED=DG，
在△ADE和△CDG中，
∵

AD=DC ∠ADC=∠CDG=90° ED=DG

∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAE；
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠GAP+∠PGD=90°，
∴∠APG=180°-（∠GAP+∠PGD）=180°-90°=90°，
∴AP⊥GC；

（2）∵AD=2，DE=1，
∴AE=

22+12

=

5

，
在△ADE和△CPE中，
∵∠AED=∠PEC，∠EAD=∠ECP，
∴△ADE∽△CPE，
∴

CE

AE

=

EP

DE

，
∴

1

5

=

EP

1

，
∴EP=

5

5

．
解：（1）∵正方形ABCD和正方形DEFG，
∴AD=DC，∠ADC=∠CDG=90°，ED=DG，
在△ADE和△CDG中，
∵

AD=DC ∠ADC=∠CDG=90° ED=DG

∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG=∠DAE；
∵∠DCG+∠CGD=90°，
∴∠GAP+∠PGD=90°，
∴∠APG=180°-（∠GAP+∠PGD）=180°-90°=90°，
∴AP⊥GC；

（2）∵AD=2，DE=1，
∴AE=

22+12

=

5

，
在△ADE和△CPE中，
∵∠AED=∠PEC，∠EAD=∠ECP，
∴△ADE∽△CPE，
∴

CE

AE

=

EP

DE

，
∴

1

5

=

EP

1

，
∴EP=

5

5

．