试题

（2011·路北区一模）已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、BD、FD．
（1）BD与CF的位置关系是．
（2）①如图，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为．
②如图，当CE=2（即点E为CD中点）时，△BDF的面积为．
③如图，当CE=3时，△BDF的面积为．
（3）如图，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．

解：（1）正方形ABCD，等腰直角三角形CEF，
∴∠ADC=∠FDC=90°，
∴∠ADC+∠FDC=180°，
即A、D、F三点共线，
∵DF∥CB，DF=CD=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴FC∥BD，
故答案为：平行．

（2）①△BDF的面积是

1

2

DF×AB=

1

2

×4×4=8，
故答案为：8．

②△BDF的面积是：S_{四边形BCFD}-S_△BCF
=S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=

1

2

BC×DC+

1

2

CD×EF-

1

2

BC×CE
=

1

2

×4×+

1

2

×4×2-

1

2

×4×2
=8，
故答案为：8．

③与②求法类似：△BDF的面积是S_△BDC+S_△CDF-S_△BCF
=

1

2

BC×CD+

1

2

CD×EF-

1

2

CB×EF
=

1

2

×4×4+

1

2

×4×3-

1

2

×4×3
=8，
故答案为：8．

（3）△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系是S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．
证明：∵S_△BDF=8，
S_{正方形ABCD}=BC×CD=4×4=16，
∴S_△BDF=

1

2

S_{正方形ABCD}．