试题

（2012·槐荫区一模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求证：BG=GC；
（3）求△CFG的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=6，∠B=∠D=90°，
∵将△ADE对折得到△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，
又∵AG=AG，
∴△ADE≌△AFG．
（2）证明：∵AB=6，CD=3DE，
∴DC=6，
∴DE=2，CE=4，
∴EF=DE=2，
设FG=x，
则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，4²+（6-x）²=（x+2）²，
解得x=3，
∴BG=FG=3，CG=6-x=3，
∴BG=CG．
（3）过点F作FN⊥CG于点N，

则∠FNG=∠DCG=90°，
又∵∠EGC=∠EGC，
∴△GFN∽△GEC，
∴

GF

GE

=

FN

EC

，
∴

3

5

=

FN

4

，
∴FN=

12

5

，
∴S_△CGF=

1

2

CG·FN=

1

2

×

12

5

×3=

18

5

．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=6，∠B=∠D=90°，
∵将△ADE对折得到△AFE，
∴AF=AD，∠AFE=90°，
∴∠AFG=90°=∠B，
又∵AG=AG，
∴△ADE≌△AFG．
（2）证明：∵AB=6，CD=3DE，
∴DC=6，
∴DE=2，CE=4，
∴EF=DE=2，
设FG=x，
则BG=FG=x，CG=6-x，EG=x+2，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，4²+（6-x）²=（x+2）²，
解得x=3，
∴BG=FG=3，CG=6-x=3，
∴BG=CG．
（3）过点F作FN⊥CG于点N，

则∠FNG=∠DCG=90°，
又∵∠EGC=∠EGC，
∴△GFN∽△GEC，
∴

GF

GE

=

FN

EC

，
∴

3

5

=

FN

4

，
∴FN=

12

5

，
∴S_△CGF=

1

2

CG·FN=

1

2

×

12

5

×3=

18

5

．